Bab 3 Penyeiesaian Persamaan Non Linear

Document Details:
  • Uploaded: February, 12th 2015
  • Views: 234 Times
  • Downloads: 0 Times
  • Total Pages: 3 Pages
  • File Format: .pdf
  • File size: 288.88 KB
  • Uploader: amanda
  • Category: Miscellaneous
 add to bookmark | report abuse
Universitas Gadjah Mada
1
BAB 3
Penyeiesaian Persamaan Non Linear
Dalam matematika, pencarian akar dari persamaan
f(x) = 0
merupakan suatu persoalan yang umum. Namun demikian, rumus-rumus yang ada hanya
dapat memberi jawab eksak untuk kasus-kasus yang sangat sederhana. Dalam banyak
kasus harus digunakan metode hampiran, khususnya metode iterasi.
3.1 Metode Biseksi
Andaikan f(x) kontinyu pada interval [a,b] dan f(a)f(b)<0. Berarti f(x) berubah tanda pada
interval [a,b]. Dengan demikian terdapat minimal sebuah titik pada interval
[a, b] yang nilai
fungsinya adalah nol. Titik ini merupakan akar persamaan f(x) = 0.
Cara paling sederhana untuk menemukan titik tersebut adalah dengan membagi interval
menjadi dua. Pembagian diulangi pada interval baru yang tetap mengakibatkan f(x) berubah
tanda.
Berikut ini algoritma metode biseksi.
I. Tentukan interval [a,b]
II. Tentukan toleransi error, misal
III. Tentukan c=(a+b)/2
IV. Jika f(a)f(c)>0 maka
a=c
Jika tidak maka
b=c
V. Jika b - a >
maka ulangi mulai langkah 3
Harus diingat bahwa pada interval [a,b], f(x) harus berubah tanda. Selain itu, harus dilakukan
pembatasan terhadap iterasi yang dilakukan.
3.2 Metode Posisi Palsu.
Pada metode biseksi, interval [a,b] dibagi dua sama panjang. Pada metode posisi palsu, titik
bagi interval diperoleh dengan cara membuat garis yang menghubungkan kedua batas
interval. Titik potong garis ini dengan sumbu X merupakan titik bagi interval. Persamaan
garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b)) adalah
Titik potong dengan sumbu X terjadi ketika y=0.
Universitas Gadjah Mada
2
Diperoleh
Berikut ini algoritma metode biseksi.
I. Tentukan interval [a, b]
II. Tentukan toleransi error, misal
III. Tentukan 


IV. Jika f(a)f(c)>0 maka
a=c
Jika tidak maka
b = c
V. Jika b - a >
maka ulangi mulai langkah 3
3.3 Metode Newton
Pandanglah gambar graft y=f(x) berikut ini. Akar persamaan f(x)=0 terjadi ketika grafik
memotong sumbu X. Perkiraan untuk akar ini adalah x
0
. Perbaikan terhadap x
0
dilakukan
dengan menggunakan garis singgung grafik di titik x
0
tersebut. Misal garis singgung tersebut
memotong sumbu X pada x
1
, maka gradien garis singung tersebut adalah
Pada kuliah kaikulus, gradien garis singgung dapat dihitung dengan menggunakan derivatif,
yakni
Dengan demikian,
Titik x
1
merupakan perbaikan dari titik x
0
. Langkah ini dapat diulang untuk merdapatkan x
2
,
x
3
, x
4
, dan seterusnya.
Universitas Gadjah Mada
3
Berikut ini algoritma untum metode Newton.
I. Tentukan tebakan awat x
0
.
II. Tentukan toleransi error, misal
III. Hitung

IV. Jika

maka akar persamaan telah ditemukan.
Jika tidak, x
0
= x
b
, ulangi mulai langkah 3.
Pada algoritma ini, f(x
0
) merupakan penyebut. Oleh karena itu perlu diperhatikan supaya
tidak terjadi pembagian dengan penyebut yang sangat kecil. Perlu juga dilakukan
pembatasan terhadap iterasi yang dilakukan.
3.4 Metode Secant
Metode secant diperoleh dari metode Newton melalui penggantian f(x
0
) dengan nilai
pendekatannya.
Dengan mengganggap, x
0
sebagai x
1
x
0
-h
sebagai x
0
maka rumus tersebut menjadi
Rumus iterasi Newton menjadi
Dengan demikian telah diperoleh rumus iterasi untuk metode Secant.
Umpan balik
1. Sebutkan 4 metode penyelesaian persamaan nonlinear yang dikenalkan pada kuliah ini.
A. .............
B. .............
C. .............
2. Metode posisi palsu merupakan perbaikan metode biseksi. Perbaikan tersebut adalah
...............
3. Pada metode Newton diperlukan derivatif fungsi. Untuk menghindari hal ini, dihitung nilai
hampirannya. Cara ini ditempuh pada metode ....................
Tags: